Paradojas | El indulto del prisionero

La probabilidad puede ayudar a tomar mejores decisiones o, por lo menos, a ver la vida de otra manera. Hoy veremos un ejemplo muy claro sobre cómo este campo de estudio puede ayudar a entender problemas de nuestro día a día.

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  En una cárcel hay tres prisioneros que han pedido el indulto al juez: el prisionero 004, el 075, el 123. El juez, quien es muy famoso por ser lector de una famosa revista de juegos de ingenio, le envía una carta al prisionero 004 con la siguiente oración: 

He concedido el indulto a dos de los tres prisioneros que lo han solicitado. Puedes enviarme una carta haciendo la pregunta que más quieras para obtener más información al respecto. Sin embargo, no podrás preguntarme directamente si tú eres uno de los dos indultados, aunque sí que puedes pedirme que te de uno de los números de los otros dos indultados.

• Al leer la carta, el prisionero 004 realiza el siguiente razonamiento. La probabilidad de ser uno de los dos indultados es de 2/3. Entonces, si pregunto el nombre de uno de los indultados, mi probabilidad disminuirá a 1/2. Por tanto, no merece que escriba al juez pidiendo el número de uno de los indultados ya que disminuirá mi probabilidad de ser uno de los indultados. ¿Será correcto este razonamiento?

Empezaremos diciendo que el conocimiento de ocurrencia de un suceso (el número de un indultado) no debería condicionar la probabilidad de que el prisionero 004 haga la pregunta al juez. Es lógico pensar que el juez ya ha tomado la decisión y que, aunque los tres no lo sepan, ya se ha tomado una decisión. Por tanto no puede haber ninguna acción que modifique la probabilidad. En el campo de la Probabilidad diremos que la probabilidad a priori y posteriori es la misma.

De una manera más matemática observamos lo siguiente. Imaginemos que el prisionero 004 no hace la pregunta. Por tanto, el espacio muestra será igual a (004, 075), (075, 123), (004, 123) siendo dicho espacio equiprobable. Por supuesto no añadimos, por ejemplo, el suceso (075, 004) puesto que el orden de indulto es despreciable y redundante. Si queremos analizar los casos en los que el prisionero 004 sea indultado, tenemos dos sucesos favorables del anterior espacio muestran: (004, 075) y (004, 123); siendo, efectivamente, una probabilidad de 2/3.

Ahora, vamos a ver el caso de que el prisionero quiera hacer la pregunta al juez. En este caso, aquí tendremos dos bloques del espacio muestral (la pareja de presos liberada y la información que dará el juez). Entonces, el espacio muestra se incrementará a los siguientes sucesos:

- Suceso 1 = [(004, 075), que el juez le diga que prisionero indultado sea el 075]

- Suceso 2 = [(004, 123), que el juez diga que el indulto es para el 123]

- Suceso 3 = [(075, 123), que el juez diga que el indulto es para el 075]

- Suceso 4 = [(075, 123), que el juez diga que el indulto es para el 123]

 

Aquí no tenemos el suceso de que el juez diga que el indulto es para 004 puesto que ha dicho que eso no lo dirá. Por tanto, el prisionero 004 será liberado si ocurre el suceso 1 y 2. Entonces, la probabilidad de que ocurra el suceso 1 es de 1/3 (no es 1/4 puesto que el suceso 3 y 4 es similar y el juez solo dirá dos números distintos a los tres posibles casos que hemos visto antes) y la probabilidad de que ocurra el suceso favorable 2 es también de 1/3. Sumando la probabilidades obtendremos 2/3.

Por tanto, es indiferente que el juez diga el nombre de otro prisionero. El argumento del prisionero 004 es erróneo puesto que no alterará las posibilidades de que A salga libre.

 

Jacob Sierra Díaz y Alti