Paradojas | El juego de San Petersburgo

En los juegos de azar, decimos que la cuota de entrada es lo que se tiene que pagar para jugar y, en el afortunado caso de ganar, llevarse el premio. Normalmente, las cuotas de entrada se establecen en función del valor medio de la posible ganancia.

En el año 1713 la familia Bernoulli desarrolló una de las paradojas más famosas de la teoría de la probabilidad. Fue propuesta por primera vez por Nicolás Bernoulli (1687-1759) y estudiada años más tardes por su sobrino Daniel Bernoulli (1700-1792), quien acabó publicando su análisis en 1738 en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. De ahí que hoy en día se le conozca como la Paradoja de San Petersburgo. 

• En un curioso juego hay que lanzar una moneda al aire de manera sucesiva hasta que salga una cruz por primera vez. El premio consistirá en el número de veces que se haya lanzado la moneda hasta que salga una cruz. Así, si en el primer lanzamiento sale una cruz, el premio será de dos monedas de oro (2¹); si en el segundo lanzamiento sale cruz, el premio será de 4 monedas de oro (2²); si en el tercer lanzamiento sale cruz, el premio será de 8 monedas (2³) y así sucesivamente de tal manera que el premio esté establecido por 2ⁿ, siendo n el número de tirada. Por tanto, cuanto más tarde salga la cruz, más premio nos podremos llevar.

• Pero si somos los organizadores del juego, ¿cuál debe ser la cuota de entrada justa que deberíamos cobrar para que el juego sea justo? 

Teniendo en cuenta que la cuota de entrada de un juego suele ser el valor medio de la ganancia y que en este juego puede haber un número infinito de posibles resultados (puede darse la improbable pero posible ocasión de que hasta el lanzamiento 300 no salga una cruz) tampoco sería tan descabellado pedir por jugar al juego 2.000 monedas de oro. Aquí la cuestión sería más bien, por cuánto dinero, el concursante estará dispuesto a gastar. 

En este caso, lo lógico sería estudiar la probabilidad de que salga por primera vez la cruz. Tal y como se observa en la siguiente imagen, lo más recomendable será estudiar la ganancia de cada lanzamiento si sale cruz junto con su probabilidad de que suceda dicho evento. Entonces, nos daremos cuenta que que salir cruz por primera vez en el x-ésimo lanzamiento tiene una ganancia de 2^x) y, por tanto, una probabilidad de 1 / 2^x

Entonces, observamos que la ganancia esperada es realmente infinita. Por tanto, la cuota de entrada deberá ser un valor infinito. Por tanto, tal y como dice Fernández-Fernández (2021) si una persona entra con 1000 monedas de oro, deberíamos aceptar el juego puesto que la ganancia media en el juego es superior a dicha cantidad (porque es infinita).

Esta famosa paradoja nos ayuda a entender que a veces el sentido común del valor medio de la ganancia no debería determinar una cuota de entrada aceptable. 

Jacob Sierra Díaz y Alti