Paradojas | La decisión de Monty Hall

En la televisión de Estados Unidos existió un programa que se llamó Let's make a deal (en castellano, Hagamos un trato) cuyo presentador era Monty Hall. Estuvo en antena entre 1963 y 1986. Este concurso inspiró a la escritora Marilyn vos Savant a plantear el siguiente problema de probabilidad que se conoce como el Problema de Monty Hall:

• En Let's make a deal un concursante escoge una puerta entre tres. Lo que se lleve de premio será lo que haya detrás de la puerta seleccionada. En una de ellas se encuentra un lujoso coche, mientras que en las otras restantes se encontrarán una cabra. Cuando el concursante se decide por una puerta, el presentador Monty Hall, quien sabe previamente en qué puerta se encuentra el coche, abrirá una de las puertas en las que se encuentre una cabra. Ahora, el concursante, con esta nueva información tiene una última oportunidad de cambiar la elección inicial de su puerta. 

• ¿Existe realmente diferencia entre cambiar la elección una vez abierta otra puerta?
• ¿Debería el concursante mantener su elección original?

Puede parecer una situación un tanto absurda puesto que a simple vista la probabilidad de éxito del concursante no debería variar por cambiar su elección. De hecho, el propio sentido común nos puede indicar que tenemos un 50% de posibilidades de acertar y, por tanto, es indiferente cambiar de decisión. Sin embargo, este es un planteamiento erróneo (no sin pocos debates probabilísticos, matemáticos e incluso filosóficos una vez publicó Marilyn vos Savant este problema en la revista Parade Magazine).

Para dar respuesta a este problema, debemos empezar plantearnos dos posibilidades. (I) En primer lugar, que el concursante (pongamos que somos nosotros mismos) haya seleccionado (por supuesto, sin saberlo aún) la puerta correcta que guarda el coche. Para esta decisión inicial, la probabilidad es de 1 entre 3 (ó 1/3). Ahora el presentador abrirá otra puerta que esconde una cabra. Para esta situación, si se decide cambiar de puerta, el concursante perderá el coche y se llevará una cabra. Por lo tanto, para este primer supuesto, parece que lo recomendable es mantener la decisión inicial (ya que ha sido la que tiene el coche; pero claro, esto no lo sabremos hasta que acabe el concurso).

(II) En el segundo supuesto, el concursante elige una puerta que tiene una cabra con una probabilidad 2 entre 3 (ó 2/3). Nuevamente, aún no sabe que hay detrás de esa puerta. Sin embargo, el presentador solo podrá abrir la otra puerta que guarda la segunda cabra. En esta situación, cambiando de elección, ganará el coche.

Para ver esto más claro, podemos realizar un pequeño esquema. Así, nos daremos cuenta que tenemos nueve casos posibles y si el concursante decide cambiar de puerta, ganará en seis de los nueves posibles casos (sobre todo cuando haya elegido originalmente una puerta que guardaba una cabra).

En definitiva, si con una probabilidad 1/3 ha elegido la puerta que tiene el coche, no debería cambiar la elección. Pero, si por el contrario, originalmente ha elegido una puerta que tiene una cabra (2/3), ganará el coche si cambia su elección original. Entonces, lo más seguro o, mejor dicho, más probable, es que elija originalmente una puerta con una cabra (2/3 frente a 1/3) y, por tanto, para maximizar la probabilidad de ganar el coche, deberá cambiar su decisión original (Fernández-Fernández, 2021). Por tanto, sí existe diferencia entre cambiar la elección original (se maximiza la posibilidad de victoria; lo que no significa que siempre se gane) y, entonces, debería cambiar la puerta seleccionada originalmente.

 

Jacob Sierra Díaz y Alti