Paradojas | Transitividad en probabilidad

¿Qué es la transitividad? Según el diccionario online de la Real Academia de la Lengua, este término alude a la cualidad de transitivo. Veamos un ejemplo práctico para ilustrar este concepto de una manera mucho más sencilla. Imaginemos que vemos tres rascacielos: Alta Mar, Horizonte Norte y Cuatro Espadas. Sabemos que Alta Mar es más alto que Horizonte Norte y Horizonte Norte es más alto que Cuatro Espadas. Gracias a la capacidad transitiva podemos inferir que Alta Mar es más alto que Cuatro Espadas, tal y como se muestra en la siguiente imagen. 

Como podemos ver en estos casos, la transitividad se aplica de manera correcta en determinados casos (sobre todo si hablamos de cualidades físicas). Sin embargo, a veces, en probabilidad esta propiedad muchas veces no se cumple. Por tanto, vamos a ver un ejemplo basado de Fernández Fernández (2021) donde esta transitividad está rota. 

• Tenemos cuatro dados cúbicos (A, B, C y D) en el que en cada cara están escritos los siguientes números: dado A - 0, 0, 4, 4, 4, 4; dado B - 3, 3, 3, 3, 3, 3; dado C - 2, 2, 2, 2, 7; dado D - 1, 1, 1, 5, 5, 5. Vamos a realizar el juego de escoger dos dados a ciegas y lanzarlos. El dado ganador será aquel que mayor puntuación tenga. Por ejemplo, si lanzamos el dado A y el dado B, saliendo respectivamente 0 y 3, en esa ronda ganará el dado B al tener la puntuación mayor.

•  ¿Se puede aplicar la propiedad transitiva en este juego y concluir que hay un dado que siempre sea el ganador frente a los otros tres restantes?

Para comenzar a resolver este problema probabilístico debemos ir apuntando los pares de dados posibles y sus probabilidades de victoria.

(A - B) La probabilidad de que (el dado) A gane a B es de 4/6, o simplificado 2/3, porque debemos contar el número de números que con A ganaremos partido entre el número total de caras.

(B - C) La probabilidad de que B gane a C es de 4/6, o simplificado 2/3, porque contamos el número de números que con C perdemos (4 doses) y por lo tanto, ganaremos con B.

Esto ha sido una forma sencilla y rápida de calcular las probabilidades. Sin embargo, hay una forma más visual de obtener las probabilidades de este curioso juego: a través de un árbol de probabilidad.

(C - D) En la siguiente imagen se ve todas las posibilidades de la partida entre los dados C y D. Por tanto, la probabilidad de que C gane a D es de 2/3.

 

(D - A) La probabilidad de que D gane a A es de 2/3, como puede verse en la siguiente imagen.

Así, tendríamos que seguir hasta haber relacionado todos los dados (A con C y B con D) y haber extraído sus probabilidades de victoria. En definitiva, con ello podemos decir que A gana es más probable que gane a B; que B es más probable que gane a C; que C es más probable que gane a D y que D es más probable que gane a A. Con ello, sobre todo con el dado D, podemos concluir que no es buena idea aplicar la propiedad transitiva en este juego. 

  

Fuente bibliográfica

Referencia en estilo APA-7: 

• Fernández-Fernández, S. (2021). Azar y probabilidad en Matemáticas. Catarata.

 Jacob Sierra Díaz y Alti