Paradojas | El problema paradójico de Yule-Simpson

Hoy vamos a conocer una paradoja muy conocida en todos aquellos que comienzan a introducirse en el estudio de la Probalidad. Esta paradoja nos demuestra que en algunas situaciones puede parecer que una tendencia observada en varios grupos de datos puede desaparecer cuando estos se combinan, como veremos a continuación. El presente problema ya fue analizado por K. Pearson y G. U. Yule a finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Pero no fue hasta que Edward H. Simpson publicó esta paradoja en una revista científica cuando empezó a ser conocida. En honor a Yule y Simpson esta paradoja se le conoce como paradoja de Yule-Simpson, dándose en una infinidad de casos probabilísticos (Fernández-Fernández, 2021). 

• Tenemos dos mesas. En cada una de las mesas hay dos cajas opacas de distinto color: amarillo y azul. Dentro de cada una de las cajas se encuentra un número distinto de bolas negras y blancas. Entonces, en la mesa A, en la caja amarilla hay 5 bolas negras y 6 bolas blancas; en la caja azul hay 3 bolas negras y 6 bolas blancas. En la mesa B, en la caja amarilla hay 6 bolas negras y 3 bolas blancas; en la caja azul hay 9 bolas negras y 5 bolas blancas. 

• ¿De qué caja de cada una de las mesas será mejor intentar sacar por primera vez una bola negra?

Para resolver este problema, tal vez sería interesante representarlo en un dibujo.

Observamos que la probabilidad de que en la mesa A saquemos una bola negra es mayor en la caja amarilla (5/11) frente a sacarla en la caja azul (3/7), tal y como se representa en el siguiente esquema. Esto es porque hay más bolas negras en la caja amarilla que en la caja azul. A continuación, seguiremos la misma lógica para la mesa B: es mejor elegir la caja amarilla porque hay más bolas negras frente a bolas blancas (6/9) frente a un mayor número de bolas negras pero también más bolas blancas (9/14), tal y como se demuestra en el dibujo

Entonces, podemos concluir que para ambas mesas, lo más conveniente es escoger una bola de la caja amarilla, puesto que hay más probabilidad de victoria.

• Ahora juntamos las dos mesas y ponemos las bolas de las dos cajas azules en una y hacemos lo mismo con las cajas amarillas, tal y como se ve en el siguiente dibujo. ¿De qué caja será mejor intentar sacar por primera vez una bola negra?

Pues aquí es donde entra en juego la paradoja de Yule-Simpson puesto que en esta situación en la que no hay subgrupos (y son las mismas bolas que en el primer caso pero esta vez en una sola mesa) lo mejor será extraer una bola de la caja azul.

Fuente bibliográfica

Referencia en estilo APA-7: 

• Fernández-Fernández, S. (2021). Azar y probabilidad en Matemáticas. Catarata.

 Jacob Sierra Díaz y Alti