Términos estadísticos | Teorema de Bayes

Definición

El Teorema de Bayes se emplea para calcular las probabilidades (p) a posteriori; es decir, aquellas probabilidades en las que se conoce el resultado final (llamado suceso B) y se desea saber la probabilidad de la causa que lo ha producido. Está muy relacionado con el campo de la Probabilidad Condicionada.

Este teorema se expresa matemáticamente de la siguiente forma:

Ejemplo

Carlos tiene tres urnas (U1, U2 y U3). En la primera (U1) hay cinco bolitas blancas y dos azules, en la segunda (U2) hay una bolita blanca y tres azules y, en la tercera (U3), hay tres bolitas blancas y cinco azules. Las probabilidades de que cada urna sea escogida al azar son 1/2, 1/3 y 1/6. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que sabiendo que se ha extraído una bola blanca, esta provenga de la U3?

• La probabilidad de cada una de las urnas son: p(U1) = 1/2; p(U2) = 1/3; p(U3) = 1/6

• Si se elige la primera urna, la probabilidad de sacar una bola blanca es: p(B/U1) = 5/7
• Si se elige la segunda urna, la probabilidad de sacar una bola blanca es: p(B/U2) = 1/4
• Si se elige la tercer urna, la probabilidad de sacar una bola blanca es: p(B/U3) = 3/8

• Para calcular la probabilidad de que la extracción de una bola blanca venga de la tercera urna se expresa como p(U3/B) y aplicando el teorema de Bayes tenemos: 

p(U3/B) = (p(U3) · p(B/U3)) / (p(U1) · p(B/U1) + p(U2) · p(B/U2) + p(U3) · p(B/U3))

p(U3/B) = (1/6 · 3/8) / (1/2 · 5/7 + 1/3 · 1/4 + 1/6 · 3/8); p(U3/B) = 21/196

La probabildiad de extracción de la urna 3 sabiendo que se ha extraído una bola blanca es de 21/196

Referencia

Induráin-Pons, I. (2019). Diccionario esencial: Matemáticas: entrada de la página 27. Vox

Jacob Sierra Díaz y Alti